1 n 2 konvergiert harmonische reihe

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1. Konvergenz der harmonischen Reihe

Wir haben uns oben schon überlegt, dass die Partialsummen der harmonischen Reihe ähnlich wie der natürliche Logarithmus anwachsen. Tatsächlich gilt. Im Kapitel zur Logarithmusfunktion werden wir diese Grenzwerte beweisen. Sie wurde zum ersten Mal vom Mathematiker Leonhard Euler verwendet [1]. Bislang konnte nicht bewiesen werden, ob diese Zahl rational oder irrational ist. Definition alternierende harmonische Reihe. Da diese Reihe alternierend ist, d. Wir zeigen zunächst, dass die Reihe konvergiert, um danach den Grenzwert genauer zu untersuchen. Satz Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe. Beweis Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe. Die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe kann mithilfe des Leibniz-Kriteriums nachgewiesen werden. Daher konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium. Alternativ lässt sich die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe erneut mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums zeigen. Siehe dazu die entsprechende Übungsaufgabe.

2. Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe

Ihre Partialsummen werden auch harmonische Zahlen genannt. Obwohl die harmonische Folge eine Nullfolge ist, ist die harmonische Reihe divergent. Die harmonische Reihe divergiert gegen unendlich, wie zuerst Nikolaus von Oresme Man sieht dies durch Vergleich mit einer Reihe, die in jedem Glied kleiner oder gleich ist Minorantenkriterium :. Genauer erhält man die Abschätzung. Es gilt die asymptotische Entwicklung :. Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen harmonischen Funktion mit Laplace-Operator Null. Eine Definition der harmonischen Reihenfunktion für alle reellen Zahlen x ist über folgende Summe möglich:. Die Ableitung der Harmonischen Reihenfunktion kann mit der Trigammafunktion dargestellt werden:. Folgender Exponentialfunktionsausdruck kann für die Ursprungsstammfunktion der harmonischen Reihenfunktion aufgestellt werden:. Folgende Gleichung kommt durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x bei der soeben genannten Formel hervor:. Wenn bei der Summe der genannten erzeugenden Funktion die Summanden noch durch die betroffenen Indices geteilt werden, dann wird die Reihe für die Summe aus Dilogarithmus und Hälfte vom Quadrat des Monologarithmus hervorgebracht:.

3. Vergleich der harmonischen Reihe mit geometrischen Reihen

Jeder Term der Harmonischen Reihe ist der Kehrwert einer natürlichen Zahl, beginnend mit der Zahl 1. Die Harmonische Reihe findet breite Anwendung in der Analysis. In der reellen und komplexen Analysis wird sie beispielsweise verwendet, um den Grenzwert von Funktionen zu bestimmen. Die Harmonische Reihe hat einige wirklich bemerkenswerte Eigenschaften und Charakteristiken, die sie sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Mathematik unverzichtbar machen. Eine der am weitesten verbreiteten Charakteristiken ist ihre Divergenz, trotz der Tatsache, dass jeder nachfolgende Term in der Reihe kleiner wird. Eine weitere interessante Eigenschaft der Harmonischen Reihe betrifft ihren Zusammenhang mit dem natürlichen Logarithmus. Dies ist ein Paradebeispiel für eine divergierende Reihe, eine Reihe, deren Summe unendlich ist. Dieses Phänomen wird als " Divergenz " bezeichnet. Eine Reihe divergiert, wenn die Summe der Terme gegen unendlich geht. Ein einfaches Beispiel für diese Divergenz ist die Summation der ersten Terme der Harmonischen Reihe, diese beträgt etwa 7.